HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

ORIGEM DA ÁLGEBRA

Por volta do ano 400 d.C., uma ideia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.
Al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses como espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares. Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.
O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas, introduziu o uso de letras para expressar, de forma geral, os dados de um problema.
Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a

Álgebra no Egito

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo em que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome um tanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábico de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

Álgebra Geométrica Grega

A álgebra geométrica grega nos foi transmitida principalmente por meio do livro II da obra Os elementos de Euclides (325-265 a.C). Entretanto, é muito provável que a álgebra dos primeiros gregos desde os pitagóricos até Euclides, Arquimedes e Apolônio já era geométrica, o que estabeleceu uma verdadeira tradição na representação de situações algébricas, bem como daquelas que envolviam números irracionais
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrico. Por exemplo, o que nós escrevemos como: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm. [Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:
Bissecte AB em M: k/2
Construa o quadrado MBCD: (k/2)2
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P: t2 = (k/2)2 - P
Então é claro que y = (k/2) - t
Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.
Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.
De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

Álgebra na Europa

A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.
A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:
1. facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;
2. invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;
3. ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.
Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.


PANORAMA NO CURRÍCULO DO ENSINO DA ÁLGEBRA

De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), desde 1799, momento em que a álgebra passa a fazer parte do currículo no Brasil, até início da década de 1960, prevaleceu um ensino de caráter reprodutivo, sem clareza, em que tudo era essencial. A matemática escolar apresentava-se dividida em compartimentos estanques.
Primeiro estudava-se a aritmética, depois a álgebra e, em seguida, a geometria. Neste período, segundo esses autores, a álgebra apresentava um caráter mais instrumental, útil para resolver equações e problemas. A afirmação sobre os objetivos da álgebra encontrada em Moraes, Mello e Bezerra (1959, p. 54) reforça as considerações acima: “A parte da Álgebra (da 2ª série ginasial) tem como objetivo primordial os problemas de 1º grau”.Do mesmo modo, Trajano (1947, p. 7) definiu a álgebra relacionando-a à solução de problemas: “Álgebra é a parte das matemáticas que resolve os problemas e demonstra os teoremas quando as quantidades são representadas por letras” .
Através da análise de livros textos anteriores à década de 1960, Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) concluíram que, no ensino da álgebra, uma maior ênfase era atribuída às transformações das expressões algébricas, e os conteúdos eram, quase sempre, apresentados através de procedimentos que, provavelmente, conduziam a uma aprendizagem mecânica, na qual apenas as regras e os passos na solução de um problema eram trabalhados.
Na década de sessenta, com o surgimento do movimento da matemática moderna que possuía como um dos seus objetivos a unificação dos três campos fundamentais da matemática, através da introdução de elementos unificadores, como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas, a álgebra passou a ocupar um lugar de destaque. O ensino da álgebra recebeu um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com os aspectos lógico-estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. Em conseqüência, a álgebra perdeu o seu caráter pragmático, útil para resolver problemas. O programa de álgebra, então, começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era colocada nas operações e nas suas propriedades.
Alguns fatores, levantados por Pires (1995, p. 44-45), caracterizavam a matemática moderna ensinada nas escolas:
• atividades práticas que envolvem aspectos do cotidiano das pessoas, perderam-se de vista;
• aspectos característicos das diferentes culturas, como procedimentos de cálculos e medidas que as crianças aprendem fora da escola, também não pareciam merecer qualquer consideração;
• um grande destaque foi conferido à matemática no currículo, ela era colocada numa posição tal que sua articulação com as demais disciplinas era mais um problema destas e não dela própria;
• os conteúdos matemáticos eram tratados desvinculados de quaisquer posturas pedagógicas centradas na socialização dando-lhes uma abordagem ‘escolar’.
Na segunda metade da década de setenta, o movimento da matemática moderna entrou em declínio em todo o mundo e aparecem críticas aos pressupostos desse movimento e tentativas de correções dos excessos cometidos. D’Ambrósio (1997) afirmou que os movimentos daquela época começaram a dar maior ênfase a uma aprendizagem mais participativa, com uma percepção da importância de atividades para os alunos
Devido à grande ênfase dada à álgebra pelo movimento da matemática moderna, os conteúdos geométricos deixaram de ser vistos como potencialmente ricos e perderam seu lugar no currículo. Ocorre o “abandono” do ensino da geometria (Pavanello, 1993). A superação desse abandono passou a ser a grande preocupação após esse período, como concluem Miorim, Miguel e Fiorentini (1993, p. 21): “ocorre, então, por parte dos educadores matemáticos, um esforço no sentido de recuperar o ensino da geometria”.
Lins e Gimenez (1997, p. 106), a respeito da álgebra apresentada nos livros didáticos atuais, ressaltaram: "(...) técnica (algoritmo) / prática (exercícios) isto é praticamente tudo que encontramos na maioria dos livros didáticos disponíveis no mercado brasileiro”.

PANORAMA ATUAL DO ENSINO DA ÁLGEBRA

O cenário atual do ensino de álgebra no Brasil é um reflexo de como a álgebra evoluiu com o passar dos tempos e, vimos uma breve revisão do ensino dessa parte da matemática no panorama anterior, torna-se necessária para se compreender o que hoje acontece com o seu ensino.
Os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais – afirmam que é preciso inovar nos métodos de ensino:
[...] um desenvolvimento mais eficaz, científico e pedagógico exige mudanças na própria escola, de forma a promover novas atitudes no aluno e na comunidade. É preciso mudar convicções equivocadas, culturalmente difundidas em toda a sociedade, de que os alunos são os pacientes, de que os agentes são os professores e de que a escola estabelece simplesmente o cenário do processo de ensino.
(BRASIL, 1998, p. 263).
Segundo Imenes e Lellis Professores e alunos sofrem com a álgebra da 7ª série. Uns tentando explicar outros tentando engolir técnica de cálculo com letras que, quase sempre, são desprovidas de significados para uns e outros. Mesmo nas tais escolas de excelência, onde aparentemente os alunos da 7ª série dominam todas as técnicas, esse esforço tem pouco resultado.
A escola tem que repensar o seu papel na sociedade, muitas vezes o professor quer seguir só o que está na moda deixando de lado a verdadeira essência do que é educação. Para que ocorram mudanças, tão necessárias no ensino de álgebra, é preciso que se contemple além dos aspectos formais, a construção do pensamento algébrico, pois não se pode utilizar uma nova linguagem sem que lhe seja dado sentido, sem que não se sinta a necessidade de sua utilização. Deve-se entender que a linguagem é, pelo menos a princípio, a expressão de um pensamento. O pensar algébrico ainda não faz parte de muitos processos de aprendizagem que ocorrem na escola; sendo assim, pode-se afirmar que a álgebra perde seu valor como um rico instrumento para o desenvolvimento de um raciocínio mais abrangente e dinâmico.
Em relação à aprendizagem da Álgebra os PCN de Matemática do Ensino Fundamental, destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra. BRASIL (1997)
Sobre a formação inicial e continuada dos professores, os PCN enfatizam que estes programas seriam mais eficientes se fossem conduzidos em função das necessidades identificadas na prática docente. Tal formação ainda não aparece em muitos currículos. Apesar das constantes denúncias sobre o ensino de matemática, os problemas permanecem. Na maioria das escolas ainda predomina um ensino tradicional, centrado no professor, que tem por função a transmissão do conhecimento. Muitos estudantes continuam não vendo sentido na aprendizagem da Matemática, que lhes é apresentada de forma descontextualizada. A Álgebra passa a não ter significado para muitos alunos, que se preocupam em gerar estratégias para memorizar dados e aplicar fórmulas que serão logo esquecidos, e muitos não chegam a desenvolver o pensamento algébrico. Nos cursos de formação dos professores, geralmente, não existe preocupação de refletir sobre a formação do pensamento algébrico, para que os futuros professores possam ter uma prática mais significativa, que garanta uma aprendizagem real da Álgebra.
Repensar o ensino da álgebra consiste em um grande desafio. Para que ocorram mudanças, faz-se necessário conscientizar os professores de que a atividade algébrica e o pensamento algébrico não se constituem apenas de cálculos repetitivos com letras, mas ocorrem sempre que houver envolvimento em contextos nos quais se necessita generalizar, discernir e descrever estruturas ou modelo, sendo assim a escola deve propor atividades significativas para que eles construam um conhecimento sólido na álgebra formal. Se a álgebra não for introduzida de maneira significativa, valorizando os conhecimentos prévios que os alunos já possuem, com certeza os alunos desde cedo sentirão dificuldade.
A Álgebra no currículo nacional começa nas séries iniciais como uma “pré-álgebra” e se estende até o 3º ciclo (7º e 8º anos) do Ensino Fundamental II, para que as noções e conceitos algébricos sejam ampliados e consolidados.
A álgebra é vista desde as séries iniciais quando se tem contato com os números naturais, mas especificamente nos 4º e 5º ano, quando se trabalha o termo desconhecido das operações, mas a álgebra só começa a ser ampliada no oitavo ano quando se inicia o estudo com o cálculo algébrico, relacionando sempre que possível elementos da Geometria com situações do cotidiano.
Assim a álgebra é considerada um instrumento poderoso e necessário a ser entendido e aprendido pelos alunos para que se possa ser aplicado na resolução de diversos problemas do dia a dia.
Conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental II:
Os números reais e operações; o cálculo algébrico; frações algébricas e sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, produtos notáveis e fatoração.
Quando o aluno chega ao ensino médio há o aprofundamento desses conceitos, de modo a ampliar e consolidar alguns conceitos.
Conteúdos para o ensino médio:
Números reais, números complexos, sistemas As crianças aprendem as noções de números e operações, de forma bem simples, fazendo cálculos mentais. A álgebra é vista através da aritmética com as quatro operações básicas, no currículo da escola e trabalhado desde a educação infantil até o 6º ano do Ensino Fundamental. A partir daí, na escola tradicional, inicia-se a distinção de ambas, pois a aritmética é vista por se trata de números e a álgebra de letras.lineares, Equações e inequações do 2º grau. Equações exponenciais, logarítmicas e modulares

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Ao iniciar a escola secundária, as letras surgem, cada vez com maior frequencia, em contextos geométricos e espera-se que os alunos não as considerem como etiquetas ou iniciais de palavras, mas sim que aprendam a interpretá-las como incógnitas ou como números indeterminados, dependendo da situação em que aparecem. (URCINI, et al, 2005, p. 11, tradução nossa).

Então, percebemos e concordamos com as autoras que o ínicio da Álgebra escolar é carcterizado pela introdução dos símbolos literais, chamado de variáveis e que, essencialmente, as variáveis estão relacionadas com três usos: para representar as incógnitas, números genéricos e relações funcionais entre distintas quantidades.

Afirmam ainda, que para conseguir com que os alunos desenvolvam estas capacidades, o papel do professor é fundamental. Sendo assim, o professor necessita ter uma compreenção profunda do conceito e dos usos da variável.

PROPOSTA DE ENSINO

A proposta de ensino e a atividade com Inequações do 1º grau, inicialmente dividir a turma em grupos para fazer uma leitura da História da Matemática no que diz respeito a origem da álgebra, destacando as relações existentes entre as outras ciências.Mostrando a importância de Diofante da Alexandria que foi o primeiro a fazer uso sistemático de abreviações nos problemas utilizando letras e números.
Após trabalhar a oralidade dos alunos sobre a história da matemática, o professor deve retomar o estudo de equações do 1º grau para que os alunos se sintam confiantes usando métodos formais e que apliquem métodos algébricos na resolução de diversos problemas matemáticos. Explorar o significado da palavra inequação, apresentando outras palavras com o prefixo in. O professor pode propor atividades que levem os alunos a diferenciar equações de inequações. Propor situações problemas para que o aluno tente resolver por meios de tentativas e erros.
Para que o aluno perceba a relação de desigualdade existente em uma inequação o professor pode levar uma balança antiga, na qual os aluno9s manipularam objetos de um prato para outro a fim de perceberem e entenderem como resolve uma inequação.

Referências:

BIAZI, Leci Maria Cemin. Erros e dificuldades na aprendizagem de álgebra. Dissertação de mestrado. FACIPAL: Palmas/PR, 2003.
BOYER, C. B. História da Matemática.. Traduzido por Elza Gomide, São Paulo: Edgar Blücher Ltda, 1974.
BRASIL (País). Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, v. 3. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRASIL (País). Secretaria da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais Para o E D’ AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática da teoria à prática. 2ª ed., Coleção Perspectivas em Educação Matemática, Campinas, SP: Papirus, 1997.
FALCÃO, J. T. R. - Clinical analysis of difficulties in algebraic problem solving among brasilian students: principal aspects and didactic issues. Proceedings of the 20th nsino Médio – Matemática. Brasília: MEC, 1998.
LIMA, L.; PÉRIDES, R. e TAKASAKI, M.. – Grupo CEVEC –A varíavel: escrevendo o movimento. São Paulo: Ciarte, 1978.
reocities.com/NapaValley/cupboard/8205/algebra.htm
www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603
www.somatematica.com.br/algebra.php
www.geniodalampada.com/index.php?...ensino...algebra...